【 統計学の数式 （By using \({\LaTeX}\)）】
【 図1 】標準正規分布図
【 表1 】相関係数の一般的な意味
母集団（ Population ）\(P\)
母平均（ Population Mean ）\(μ\)
母分散（ Population Variance ）\(σ^{2}\)
母標準偏差（ Population Standard Deviation） \(σ\)
標本数（ Sample Size ） \(n\)
標本平均（ Sample Mean ） \(\bar{x}\)
標本分散（ Sample Variance ） \(s^{2}\)
標本標準偏差（ Sample Standard Deviation ） \(s\)
共分散（ Covariance ） 変量=2（\(x,y\)）\(σ_{xy}\)
相関係数（ Correlation Coefficient ）（ピアソンのｒ） \(r\)
相対リスク（ Relative Risk ）\(RR\)
帰無仮説（ Null Hypothesis ） \(H_{0}\)
対立仮説（ Alternative Hypothesis ） \(H_{1}\)
有意水準（ Significance Level ） \(\alpha\)
正規分布（ Normal Distribution ） \(N(μ,σ^{2})\)
（ 標準正規分布の場合 \(μ=0\) ）標準誤差（ SE：standard error ） \(SE\)
【 標本 】
今、標本数（ Sample Size ）を \(n\) とし、変量を \(x \) とすると
標本平均\[\bar{x}= \frac{\displaystyle\sum^{n}_{i=1}x_{i}}{n} = \frac{1}{n}( x_{1}+x_{2}+ \cdots + x_{n} )\]
標本分散\[s^{2}= \frac{\displaystyle\sum^{n}_{i=1}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n} = \frac{1}{n}\{ ( x_{1}-\bar{x})^{2} + ( x_{2}-\bar{x})^{2}+ \cdots + (x_{n}-\bar{x})^{2} \}\]
標本標準偏差\[s = \sqrt{s^{2}}\]
標準誤差\[SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{\frac{1}{n-1} \displaystyle\sum^{n}_{i=1} (x_{i} - \bar{x})^{2}}} {\sqrt{n}}\]
標準誤差は、一般的に「標本平均の標準偏差」を意味する。
【 母集団 】
母集団についても、平均、分散、標準偏差 の数式は同じ。
各々の記号が異なるだけ。
母平均\[μ= \frac{\displaystyle\sum^{n}_{i=1}x_{i}}{n} = \frac{1}{n}( x_{1}+x_{2}+ \cdots + x_{n} )\]
母分散\[σ^{2}= \frac{\displaystyle\sum^{n}_{i=1}(x_{i}-μ)^{2}}{n} = \frac{1}{n}\{ ( x_{1}-μ)^{2} + ( x_{2}-μ)^{2}+ \cdots + (x_{n}-μ)^{2} \}\]
母標準偏差\(σ = \sqrt{σ^{2}}\)
偏差値\[T = \frac{\displaystyle d_{i} - μ} {σ} \times 10 + 50\]
\(（d_{i} \) は個々の値）（ 因みに、この偏差値という統計量は、世界では殆ど使われない）
【 多変量 】
二つの変量を、\(x、y\) とし、かつ、
この 二つの変量のサイズは両方とも同じで \(n\) とした時
共分散
\[σ_{xy} = \frac{\displaystyle\sum^{n}_{i=1}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})} {n}\]
\[=\frac{1}{n}\{(x_{1}-\bar{x})(y_{1}-\bar{y})+(x_{2}-\bar{x})(y_{2}-\bar{y})+ \cdots + (x_{n}-\bar{x})(y_{n}-\bar{y})\}\]
この「共分散」を言葉で表すと『\(x の偏差と yの偏差の積の平均\)』となります。
相関係数\[r=\frac{σ_{xy}} {σ_{x}σ_{y}}\]
【 仮説検定（ Hypothesis Testing ）】
今、標本数（ Sample Size ）を \(n\) または \(N\) とする。
◆ スタージェスの公式（ 適正階級数 ）
Sturges' rule\(1 + log_{2}N\)
◆ 相関係数のt検定（ \(r\) は相関係数 ）
Correlation coefficient ttest\[t=\frac{r\sqrt{n-2}} {\sqrt{1-r^2}} \]
◆ コックス比例ハザードモデル（ \(t\) は解析時間、\(x\) は説明変数、\(a\) は各パラメーターの推定値 ）
Cox proportional hazard model\(h(t|x)= h_0(t)\exp(a_1x_1 + \cdots + a_nx_n)\)
【 表2 】標準正規分布表
とりあえずは、ここまで なのだワン！
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【 相関関係と因果関係 】
ここでは、統計に於ける『Pitfall』について述べます。
右図は、
「男女別 肥満率の年次推移グラフ」（図-1）
です。
……………………………………
平成30年 国民健康・栄養調査結果の概要
第２部 基本項目
第１章 身体状況及び糖尿病等に関する状況
１．肥満及びやせの状況）（平成 20 30 年）
……………………………………
です。（平成30年 = 2018年）
ここで 肥満率とは、調査対象者の中で、
BMI ≥ 25 （kg/m²）の人の割合（単位 %）となります。
図-1：男女別 肥満率の年次推移グラフ
このグラフを表にしたものが、右表 （表-1）です。そして、この 表-1 から、Excel で、
『男女の肥満率の散布図』を作成してみました。
図-2：男女の肥満率の散布図 表-1：男女別 肥満率の年次推移表
この「図-2」の
横軸（x軸） は、男性の年別の肥満率で
縦軸（y軸） は、女性の、男性と同年の肥満率です。
各プロットに振っている「Hnn」は、平成nn年です。
さて、ここで統計量
Ｍ：男性の肥満率
Ｆ：女性の肥満率
この二つの統計量の 『相関係数』を、
Excel の「CORREL関数」を使って算出すると
相関係数 r = 0.5269706
が導かれます。
『相関係数』の解釈として、概ね、
・ 0.3未満：ほぼ相関関係はない
・ 0.3～0.5未満：非常に弱い相相関係がある
・ 0.5～0.7未満：相関関係がある
・ 0.7～0.9未満：強い相関関係がある
・ 0.9以上：非常に強い相関関係がある
と言われています。
因みに、二つの事象について、この『相関係数』が
❖ 1の時：完全な正の因果関係がある
❖ -1の時：完全な負の因果関係がある
となりますが、完全に ±１ になることは、まずありません。
そして、上記の、『相関係数』の解釈を踏まえると
ＭとＦ との相関係数 r = 0.5269706 は
男性の肥満率と女性性の肥満率は、そこそこ相関関係がある。
という事になりますね。
さて、皆様は
『男性と女性の肥満率に相関関係などない』事は
経験的な知見によって、分っている筈ですね！
ところが
① 受動喫煙の曝露
② 健康被害
といった事象の相関関係については
経験的な知見が備わっておらず、それ故に
ある程度の肩書のある医師や医学研究者が
……………………………………
① と ② の相関関係を示した統計を掲げ
『故に、受動喫煙への曝露は健康被害を齎す』
可能性が、このように高いのです。
……………………………………
と、結論すれば、素人たる読者は
❝なる程、受動喫煙って危険なんだ❞
という認識を形成していく訳なのです。
これは、極論すれば
『未知の論証の誤謬（fallacy of the argument from ignorance）』
に属する論法だと考えられます。
すなわち
「XがYでない事は誰にも証明出来ない。故にXはYである」
という推論形式なのです。
オラッちの主張 ❗
ここで大事な事は
『自分なりの検証を行う』
そして、その際に、
『自分の経験的知見と照合する』
ことだと考えています。
では、では。
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